PÉNDULO SIMPLE IV. ESTUDIO SOBRE LA INFLUENCIA DE LA LONGITUD


Experimento realizado por alumnos de Secundaria en el IES "Leonardo Da Vinci" de Alicante

 
 
HIPÓTESIS Y DISEÑO EXPERIMENTAL
RESULTADOS
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

PÉNDULO SIMPLE Y ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

ANIMACIÓN DE REFUERZO

 
 
 

HIPÓTESIS Y DISEÑO EXPERIMENTAL

 
 

En los experimentos realizados sobre la influencia de otros factores en el periodo del péndulo simple se ha puesto de manifiesto la influencia de la longitud, cuyo estudio se propone ahora específicamente. Se pretende contrastar la hipótesis que se emitió sobre de la influencia de esta variable, según la cual al aumentar la longitud, debería aumentar el periodo.

 

Para ello, al concretar un diseño experimental tenemos en cuenta la no influencia de la masa y el hecho de que la influencia de la amplitud se puede despreciar para oscilaciones de pequeña amplitud.

 

 

Considerando todo esto, se plantea a los estudiantes que determinen experimentalmente el periodo del péndulo simple en oscilaciones pequeñas y para longitudes crecientes del mismo (de 5 en 5 cm). Una variante del experimento puede consistir en que todos los grupos midan el periodo que corresponde a todas las longitudes. Otra alternativa es proponer a cada equipo que determine el periodo para una determinada longitud del péndulo, de tal forma que entre todos se complete el número de longitudes previsto. Los equipos pueden usar un cronómetro ordinario para medir los tiempos (tomados sobre un número amplio de oscilaciones y con no menos de 3 mediciones de cada longitud) o, también, pueden utilizar el sensor de fuerza para determinar el periodo siguiendo el procedimiento aprendido en el estudio de la influencia de la amplitud.

 
 
 

 

RESULTADOS

     
 

Se muestran resultados obtenidos en 3º ESO, usando un cronómetro manual para medir el tiempo correspondiente a 10 oscilaciones, del que se deriva el valor del periodo (una oscilación).

 
     
 

 

En este caso realizaron el experimento tres equipos de alumnos. Cada uno tomó un mínimo de 3 mediciones del periodo para cada valor de la longitud, y, en la puesta en común, se recogió finalmente el conjunto de las 9 medidas que refleja la tabla adjunta. Como se observa, un análisis elemental de dicha tabla confirma la esperada relación creciente entre la longitud y el periodo, precisando que dicha relación no es lineal, porque los incrementos sucesivos del periodo van siendo menores para incrementos sucesivos de la longitud iguales entre sí.

 

 
 

 

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

     
 

 

 

Analizados los resultados en términos cualitativos se busca una posible relación matemática entre la longitud y el periodo. Si se exige que al tender la longitud (l) a cero, el periodo (T) también tienda a cero (lo que equivale a obligar a que la gráfica pase por el origen), entonces, la relación entre la longitud y el periodo puede ser exponencial: T = K· l n, debiendo ser, en este caso, el exponente, n, menor que la unidad. Así lo comprueban los estudiantes después de realizar un ajuste exponencial sobre la gráfica experimental, puesto que, de acuerdo con lo dicho, dicho ajuste proporciona un exponente muy próximo a 0.5.

 

Por tanto, este análisis indica que, para oscilaciones de amplitud pequeña, el periodo y la raíz cuadrada de la longitud del péndulo simple son proporcionales, lo que se puede corroborar también representando los valores de la longitud frente a los correspondientes del cuadrado del periodo. Como se observa, dicha representación produce una recta que prácticamente pasa por el origen.

   
 
 
 

 

PÉNDULO SIMPLE Y ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

     
 

Una consecuencia inesperada que se extrae del estudio de la relación entre la masa y el periodo del péndulo simple es el hecho de que cuerpos de masa muy diferente (como lo son las bolas de plástico y acero que conforman los péndulos) caen igual. En 3º ESO los estudiantes todavía no estudian Dinámica newtoniana, por lo que esta cuestión queda planteada como un problema pendiente, que se investigará en cursos posteriores.

 

Ahora bien, en este nivel los alumnos sí saben que la caída de los cuerpos "se debe a la atracción de la Tierra" y algo han oído hablar acerca de "la gravedad", como un concepto que juega un papel principal en los estudios acerca de dicha atracción gravitatoria. Por tanto, entienden que es razonable esperar que el periodo del péndulo simple se relacione (además de con la longitud y con la amplitud) con la aceleración de la gravedad, g. De dicha relación se deriva que el experimento que han realizado también pueda ser empleado para obtener el valor de g.

 

 

La tabla adjunta muestra los valores de la aceleración de la gravedad que se calculan a partir de cada valor experimental del periodo obtenido en este experimento. Como la fórmula que obtiene el periodo del péndulo simple en función de las variables influyentes (longitud, l y aceleración de la gravedad, g) es:

 

 
Dichos valores de la aceleración de la gravedad se obtienen usando directamente la siguiente expresión:

 

 

Para obtener un valor representativo a partir de todos ellos nos apoyamos en la representación gráfica ya realizada sobre la relación entre el cuadrado del periodo y la longitud del péndulo. De acuerdo con la fórmula del periodo, la pendiente de dicha gráfica es:

 

 

Y, por tanto, la aceleración de la gravedad se puede calcular usando la siguiente expresión:

 

 

Si se consideran todos los valores experimentales, esta pendiente sería 3.98 s2/m, lo que daría un valor de g igual a 9.92m/s2. Este no es el mejor valor de g que se puede obtener con estos datos experimentales. Para optimizar el procedimiento interesa seleccionar un conjunto más reducido de puntos de la gráfica (gráfica adjunta, a la izquierda), escogidos de forma que la recta que los ajusta sea la que pasa más próxima al origen. Así, la pendiente resulta 4.06 s2/m y se obtiene un valor de g igual a 9.72m/s2.

 

 
 
 

 

ANIMACIÓN DE REFUERZO

 
 

 

Clic sobre la imagen para descargar la animación. Si no lo tienes instala Modellus 2.5 (32 bits) o Modellus 3 (64 bits)

 

Al terminar el estudio experimental sobre los factores que influyen en el periodo del péndulo simple, ofrecemos a los alumnos usar la animación Modellus adjunta, elaborada por el Departamento. Dicha animación simula el movimiento de oscilación del péndulo simple y calcula su periodo para oscilaciones "relativamente pequeñas" (hasta 40º). Permite modificar el ángulo inicial (amplitud de las oscilaciones) y la longitud del péndulo, comprobando cómo afectan estos cambios al movimiento de oscilación y al valor del periodo.

Por otra parte, quienes quieran repasar la teoría sobre el movimiento de oscilación del péndulo pueden consultar este documento.