PÉNDULO SIMPLE II. ESTUDIOS SOBRE LA INFLUENCIA DE LA AMPLITUD


Experimento realizado por alumnos de Secundaria en el IES "Leonardo Da Vinci" de Alicante

 
 
RESULTADOS OBTENIDOS USANDO UN MONTAJE TRADICIONAL
RESULTADOS OBTENIDOS USANDO EL SENSOR DE FUERZA
EL PERIODO DEL PÉNDULO SÍ DEPENDE DE LA AMPLITUD
GALILEO Y HUYGENS

 

 

 

RESULTADOS OBTENIDOS CON UN MONTAJE TRADICIONAL

 
 

En la primera parte de este trabajo práctico se plantean varios diseños experimentales con los que se puede investigar acerca de los factores que pueden influir en el periodo del péndulo simple. En el estudio sobre la posible influencia de la amplitud, los equipos pueden iniciar los experimentos usando el montaje tradicional, que usa una cinta métrica para determinar la longitud del péndulo y un cronómetro para medir el periodo de oscilación. Cada equipo puede utilizar un péndulo propio y medir varias veces el periodo correspondiente a dos amplitudes diferentes (en este caso, se hizo una con ángulo inicial entre 30º y 35º, y la otra con ángulo inicial entre 5º y 10º).

 

 

La clase se sorprende porque los resultados de la mayoría de los grupos (como el ejemplo de la tabla adjunta) aunque indican un periodo algo mayor para la amplitud mayor (en coincidencia con la hipótesis que había formulado), también muestran que en todo caso esta variación sería muy pequeña.

 

Por ello, no se puede extraer todavía una conclusión inequívoca, más teniendo en cuenta la importante imprecisión que tienen los resultados (recuérdese que el cronómetro se activa manualmente)

 

Intentando explicar por qué la diferencia entre los valores del periodo para amplitudes bastante diferentes resulta bastante menor de la esperada, algunos alumnos pueden sugerir la idea de que las oscilaciones de mayor amplitud se baten a mayor velocidad que las de menor amplitud. Indican que el hecho de que la velocidad sea diferente quizá compense al hecho de que la longitud recorrida también lo es (en sentido opuesto).

 
 
 

 

RESULTADOS OBTENIDOS USANDO EL SENSOR DE FUERZA

 
 

Con el sensor se puede registrar la evolución de la tensión del péndulo y habrá que hacerlo durante un tiempo bastante amplio, para empezar a registrar oscilaciones con un ángulo relativamente grande (unos 60º) y terminar de tomar mediciones con un ángulo pequeño (unos 5º o 10º). De la gráfica correspondiente se pueden obtener valores del periodo para las amplitudes cada vez menores con las que va oscilando el péndulo a medida que se amortigua su movimiento.

En este caso, los alumnos obtuvieron la siguiente gráfica:

 

 

En la que, como vemos, se confirma la esperada oscilación de la tensión de la cuerda a medida que el péndulo oscila y también se observa cómo las diferencias entre la tensión máxima y la tensión mínima del péndulo decrecen paulatinamente, a consecuencia del progresivo amortiguamiento de las oscilaciones (si hubiera dejado oscilar al péndulo indefinidamente, habría acabado en reposo en posición vertical y en esa posición el módulo de la tensión ya sería igual al módulo del peso de la bolita).

 

Seguidamente, los alumnos obtuvieron el periodo de oscilaciones de amplitudes paulatinamente decrecientes seleccionando tramos que las contienen y que estaban separados por intervalos iguales de tiempo (en este caso, cada 20 s). Recordemos que cada oscilación se corresponde con un recorrido completo de ida y vuelta del péndulo y, por tanto (como ya hemos visto), abarca a tres máximos consecutivos (o tres mínimos) de la gráfica. Las imágenes siguientes muestran dos de estas mediciones:

 

 

Como vemos, en las oscilaciones iniciales (es decir, las de mayor amplitud) se obtuvo un periodo: T = (1.8 ± 0.1) s.

 

 

Y en oscilaciones posteriores, ocurridas después de dejar oscilar al péndulo durante aproximadamente un minuto (por tanto, de bastante menor amplitud que las primeras) se obtuvo un periodo: T= (1.7 ± 0.1) s

 

Estos mismos resultados, se pueden obtener (con mayor precisión) realizando con el programa un ajuste sinusoidal en las gráficas, ya que dicho ajuste proporciona los tres parámetros básicos de la oscilación registrada por el sensor (amplitud, periodo y fase). Al usar este procedimiento, hay que tener en cuenta, una vez más, que el periodo de la oscilación en la tensión de la cuerda (que es lo que mide el sensor) es exactamente igual a la mitad del periodo de una oscilación completa del péndulo simple.

 

 
 
 

 

EL PERIODO DEL PÉNDULO SÍ DEPENDE DE LA AMPLITUD

 
 

Los resultados obtenidos con el sensor, indican que, aunque en un grado mucho menor que el esperado, el periodo del péndulo simple depende de la amplitud. Y así es en efecto, como confirman, no sólo los estudios experimentales de alta precisión, sino también la propia teoría del péndulo simple.

 

De hecho, la solución de la ecuación del movimiento del péndulo para oscilaciones de cualquier amplitud proporciona valores que se van separando cada vez más de la solución aproximada que podríamos considerar si la amplitud no influyera. La tabla adjunta aporta los valores del cociente entre el periodo real o "exacto" de las oscilaciones (T) y el periodo que tendrían (To), si siempre fuera correcta la solución aproximada (Fuente: Wikipedia).

 

 

Dicho cociente es muy próximo a la unidad para ángulos pequeños y, por eso, para oscilaciones de pequeña amplitud es legítimo considerar el periodo casi constante.

 

 

En los laboratorios de los institutos se pueden obtener resultados bastante fiables del incremento del periodo con la amplitud, sin necesidad de utilizar tecnología avanzada, como son los propios sensores de fuerza. A modo de ejemplo, recomendamos el este trabajo de Luís Ignacio García, realizado en 2º Bachillerato (incluye una hoja Excel muy útil para que los alumnos recojan y analicen los resultados). Esto, no obstante, sobrepasa el objetivo de este trabajo práctico, realizado en 3º ESO, donde sí informamos a los alumnos del aumento real del periodo con la amplitud, les mostramos la gráfica teórica que refleja dicho aumento y también la tabla de valores anterior. Usándola realizan (con nuestra ayuda) algunos cálculos sencillos, que explican por qué en su estudio experimental pasa casi inadvertida la dependencia del periodo con la amplitud.

 
 
 

 

GALILEO Y HUYGENS

 
 

Como complemento a este estudio sobre la influencia de la amplitud en el periodo del péndulo simple, se puede pedir a los alumnos que realicen un trabajo bibliográfico acerca de las aportaciones que hicieron Galileo y Huygens en relación con el péndulo simple.

 

 

En cualquier libro (o en Internet), se puede encontrar el relato de la leyenda, según la cual Galileo, un domingo de 1583, cuando era un estudiante de apenas 18 años, se distrajo en la catedral de Pisa al observar el movimiento oscilatorio de una gran lámpara colgante suspendida del techo. Galileo se sorprendió al ver que el candelero parecía batir tiempos iguales, fuera cual fuese la amplitud de las oscilaciones y, supuestamente, cuando terminó la misa corrió a su casa, donde ató distintas pesas en el extremo de varias cuerdas para repetir la experiencia.

 

Cronometró las oscilaciones, utilizando como patrón de medida del tiempo su propio pulso (en aquella época no se disponía de cronometro alguno para medir con un mínimo de precisión el tiempo) y confirmó que la amplitud apenas influye en el periodo.

Sea o no verdadera esta leyenda, lo que sí parece ser cierto es que Galileo sugirió utilizar un péndulo de una longitud dada para medir el pulso de los pacientes (este aparato, conocido como el "pulsómetro", se hizo muy popular en la medicina) y que también se planteó construir un reloj de péndulo, pero no lo consiguió precisamente porque, como hemos vsito, el periodo del péndulo simple en realidad sí depende de la amplitud, aunque esa influencia sea prácticamente insignificante cuando se manejan ángulos pequeños.

 

 

Más de 70 años después, en 1657, Christian Huygens realizó el sueño de Galileo, aplicando con éxito el péndulo a un reloj. Huygens diseñó un reloj basado en la curva cicloide (curva que describe un punto de una circunferencia que rueda a lo largo de una recta horizontal).

 

 

En su libro Horologium oscillatorium, publicado en 1637, dice "El péndulo simple no puede ser considerado como una medida del tiempo segura y uniforme, porque las oscilaciones amplias tardan más tiempo que las de menor amplitud; con ayuda de la geometría he encontrado un método, hasta ahora desconocido, de suspender el péndulo; pues he investigado la curvatura de una determinada curva que se presta admirablemente para lograr la deseada uniformidad. Una vez que hube aplicado esta forma de suspensión a los relojes, su marcha se hizo tan pareja y segura, que después de numerosas experiencias sobre la tierra y sobre el agua, es indudable que estos relojes ofrecen la mayor seguridad a la astronomía y a la navegación. La línea mencionada es la misma que describe en el aire un clavo sujeto a una rueda cuando ésta avanza girando; los matemáticos la denominan cicloide, y ha sido cuidadosamente estudiada porque posee muchas otras propiedades; pero yo la he estudiado por su aplicación a la medida del tiempo ya mencionada, que descubrí mientras la estudiaba con interés puramente científico, sin sospechar el resultado."

 

 

 

El péndulo simple cicloidal se concibe suspendiendo el hilo entre dos contornos sólidos que tienen la forma de arcos de cicloide tangentes en su punto de unión. Al oscilar el péndulo, el hilo se ha de ceñir a uno u otro de esos dos contornos cicloidales, de al modo que la longitud efectiva del péndulo queda disminuida en una proporción que depende de la amplitud de las oscilaciones. Huygens demostró que si la circunferencia que genera los dos contornos tiene un radio igual a la cuarta parte de la longitud del hilo de suspensión del péndulo, entonces el péndulo describe un arco de cicloide y es rigurosamente isócrono.