Solució

(3-5 p. 97) Un esdeveniment ocorre en x’ = 60 m, t’ = 8·10^-8 s en un sistema K’(y’ = 0, z’ = 0). El sistema K’ té una velocitat 3c/5 segons l’eix de les x respecte d’un sistema K. Els orígens de K i K’ coincideixen per a t = 0, t’ = 0. Quines són les coordenades espai temps de l’esdeveniment en K?

(3-6 p. 97) Les coordenades espai temps de dos esdeveniments mesurades en un sistema K són les següents: 

Esdeveniment 1:  x₁ = x_o, t₁ = x_o/c     (y₁ = 0, z₁ = 0)

Esdeveniment 2:  x₂ = 2x_o, t₂ = x_o/2c  (y₂ = 0, z₂ = 0)

(a) Hi ha cap sistema on aquests esdeveniments ocorren en el mateix instant. Trobeu la velocitat d’aquest sistema respecte de K.

(b) Quin és el valor de t per al qual tots dos esdeveniments ocorren en el nou sistema de referència?

(3-7 p. 97) El sistema K’ té una velocitat v = 3c/5 relativa a K. S’ajusten els rellotges de tal forma que t = t’ = 0 per a x = x’ = 0.  

(a) Un esdeveniment ocorre en K per a t = 2·10^-7 s en un punt per al qual x = 50 m.  En quin instant ocorre l’esdeveniment en K’? 

(b) Si un segon esdeveniment ocorre en (10 m, 3·10^-7 s) en K, quin és l’interval de temps entre els dos esdeveniments mesurat en K’?

(4-1 p. 137) Dos esdeveniments ocorren en el mateix lloc en un determinat sistema de referència i es troben separats per un interval de temps de 4 s. Quina és la separació espacial entre aquests dos esdeveniments en un sistema inercial on els esdeveniments es troben separats per un interval de temps de 6 s?

(4-2 p. 137) Dos esdeveniments ocorren en el mateix instant en un sistema K i estan separats per una distància d’1 km segons le’ix X. Quina és la diferència de temps entre aquests dos esdeveniments mesurada en un sistema K’ que es mou a velocitat constant segons X i en quin la separació espacial resulta ser de 2 km en mesurar-la?

(4-3, p. 137) Un observador no té una visió completa d’allò que ocorre en tots els punts d’un sistema de referència en un instant donat; només coneix el que succeeix en aqueix instant en el punt on es troba. Suposem que una barra homogènia d’un metre de longitud dirigida segons la direcció x es mou segons l’eix de les x amb una velocitat 0,8c, el centre de gravetat de la qual passa per l’origen en t = 0. Suposem que un observador està situat en el punt x = 0, y = 1 m.

(a) En quin punt del sistema de referència de l’observador es troben els punts extrems de la barra en t = 0?

(b) Quan veu l’observador que el punt mitjà de la barra passa per l’origen?

(c) A on aparenten estar els extrems en aquest instant?

(5-1, p. 182) Considerem tres galàxies A, B i C. Un observador situat en A mesura les velocitats de C i B i troba que s’estan movent en direccions oposades i cada una d’elles amb una velocitat de 0,7c relativa a ell. Per tant, d’acord amb les mesures en el seu sistema la distància entre elles augmenta a la velocitat 1,4c.

(a) Quina és la velocitat d’A observada en B?

(b) Quina és la velocitat de C observada en B?

(5-2, p. 182) Un messó K^o en reòs es desintegra per a crear un messó p⁺ i un messó p^- , cada un dls quals té una velocitat de 0,85c. En desintegrar-se un messó K^o que marxa a una velocitat de 0,9c,

(a) Quina és la màxima velocitat que poden assolit cada un dels messons p?

(5-3, p. 183) Considerem dos sistemes de referència, K i K’, que es mouen a una velocitat V (<c) un respecte de l’altre i segons l’eix x.

(a) Si determinat objecte es mou amb una velocitat u (u<c) respecte de K i una velocitat u’ respecte de K’, utilitzeu les equacions de composició de velocitats (tridimensionals) per a demostrar que u’<c.

(b) Si u = c, demostreu que u’ = c.

(c) Si V=3c/4, i u’ té les components u’_x= -2c, u’_y=u’_z=0, demostreu que les components de u són u_x=5c/2, u_y=u_z=0.

(5-6, p. 183) Les mesures fetes en dos sistemes, K i K’, estan relacionades per les transformades de Lorentz Einstein usuals, amb V=0,6c. En t’ = 10^-7 s, una partícula ix del punt x’ = 10 m amb una velocitat constant u’ igual a –c/3. Passa de cop i volta al repòs en l’instant t’ = 3·10^-7 s (totes les mesures fetes en K’). Trobeu, mesurades en K:

(a) La velocitat de la partícula durant el recorregut.

(b) La distància recorreguda.

(5-8 p. 184) Considerem dos sistemes de referència inercials, K i K’, relacionats de la manera usual.

(a) En t = 0 un fotó ix de K i marxa en una direcció que forma un angle de 45^o amb l’eix de les X. Quin angle forma la trajectòria d’aquest amb l’eix de les X’ en K’?

(b) Repetiu l’apartat anterior per al cas d’un cos de massa m que es mou en K amb una velocitat u.

Los enunciados de todos los problemas proceden del libro de A.P. French, Relatividad especial (Reverté; Barcelona)